Observatorio de I+D+i UPM

Memorias de investigación
Thesis:
INVERSAS GENERALIZADAS DE PERTURBACIONES ADITIVAS Y APLICACIONES
Year:2011
Research Areas
  • Mathematics
Information
Abstract
Las inversas generalizadas tienen aplicaciones en teoría de matrices y en diversos campos, incluyendo estadística, análisis numérico, ecuaciones diferenciales y en diferencias, criptografía y teoría de control. En particular, la inversa de grupo es útil en interesantes áreas de la matemática aplicada como teoría de grafos, matrices no negativas, cadenas de Markov finitas y algoritmos de búsqueda de páginas web. Esta tesis está dedicada al estudio de propiedades de aditividad de la inversa de Drazin generalizada y sus aplicaciones. Sus principales aportaciones se centran en los siguientes temas: representaciones para la inversa de Drazin generalizada de una suma, expresiones para la inversa de Drazin de matrices particionadas y teoría de perturbación de la inversa de Drazin, habiéndose obtenido resultados que extienden o generalizan trabajos previos. En el contexto de algebras de Banach, un elemento admite inversa de Drazin generalizada si y solo si cero es un punto aislado de su espectro. En este trabajo se analiza la existencia de inversa de Drazin generalizada de una suma y se proporcionan expresiones explícitas para su cálculo. Varios casos particulares de interés son considerados. La principal herramienta utilizada en el desarrollo es una representación para la resolvente de una matriz por bloques con entradas en el álgebra de Banach. El segundo problema que se aborda es la obtención de expresiones explícitas para la inversa de Drazin de matrices particionadas en términos de los bloques individuales. Aplicando resultados aditivos, se derivan fórmulas para la inversa de Drazin de matrices de operadores lineales y acotados sobre un espacio de Banach y para la inversa de Drazin de matrices complejas por bloques, con bloques cuadrados en su diagonal, tales que un complemento de Schur generalizado es nulo o no singular. El estudio se amplía con el desarrollo de condiciones bajo las cuales la inversa de Drazin de una matriz por bloques puede ser expresada en términos de una matriz en la forma de Banachiewicz-Schur y sus potencias, atendiendo a dos líneas de trabajo. En primer lugar se analiza el caso en que un complemento de Schur generalizado es invertible grupo. En segundo lugar, se consideran matrices particionadas que satisfacen una fórmula de rango por bloques y se establecen condiciones para la existencia de la inversa de grupo de la matriz. En ambos casos se obtienen expresiones explícitas para el cálculo de la inversa de grupo. Por último, la atención se centra en la teoría de perturbación de la inversa de Drazin de matrices que se ocupa de obtener fórmulas explícitas para la inversa de Drazin de la matriz perturbada, proporcionar cotas superiores de error asociadas a estas fórmulas y calcular las correspondientes estimaciones de error. Utilizando rango matricial, se introduce una clase de matrices perturbadas más amplia que las estudiadas en otros trabajos. Para una matriz perteneciente a esta clase, se derivan caracterizaciones en términos de condiciones geométricas y algebraicas en el contexto de la inversa de Drazin. En particular se obtiene una expresión para su descomposición índice 1-nilpotente. El análisis de perturbación se lleva a cabo utilizando o bien inversas interiores o bien proyectores oblicuos, proporcionando expresiones explícitas de la inversa de Drazin y de la proyección espectral asociada al autovalor cero, para la matriz perturbada. Estas fórmulas se utilizan para derivar cotas superiores para el error relativo de la inversa de Drazin y para el error de la proyección espectral, que son aplicadas en distintos ejemplos numéricos mostrando que mejoran otras acotaciones dadas en la literatura y que pueden ser significativas en aquellos casos en los que no se pueden utilizar resultados previos. El análisis se completa con el desarrollo de nuevas fórmulas y cotas de perturbación para la inversa de grupo de matrices perturbadas.
International
No
Type
Doctoral
Mark Rating
Sobresaliente cum laude
Date
26/05/2011
Participants
  • Autor: Maria Francisca Martinez Serrano (UPM)
  • Director: Blanca Nieves Castro Gonzalez (UPM)
Research Group, Departaments and Institutes related
  • Creador: Grupo de Investigación: Sistemas Singulares e Inversas Generalizadas
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