Universidad
Politécnica de Madrid

13.09.2021

En un artículo publicado en la revista Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, investigadores del Grupo de Sistemas Complejos de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM), en colaboración con investigadores de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), han desarrollado un nuevo método para calcular de forma directa y sencilla las frecuencias que caracterizan los toros geométricos invariantes basándose en un potencial que describe la dinámica de una estrella dentro de una galaxia.

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El movimiento de los cuerpos celestes siempre ha maravillado a los hombres de todas las culturas, por las propiedades casi mágicas que se les atribuía. Así, en la antigua Grecia se creía que nuestra vida estaba condicionada por la fecha de nacimiento o, mejor dicho, por nuestro signo del zodiaco, que dependía de la constelación en que se encontraba el Sol en ese momento; por el contrario, se consideraba que los cometas auguraban calamidades. Describir el movimiento de los cuerpos celestes fue entonces un reto tremendamente interesante, dado que entonces se podía aventurar qué iba a pasar en el futuro.

Los antiguos griegos consideraban que la Tierra estaba en el centro del universo conocido (aunque algunos, como Aristarco de Samos, se adelantaron varios siglos a la propuesta heliocéntrica de Galileo). Hoy en día sabemos que esta visión es errónea. Aun así, los griegos fueron capaces de describir por medio de ingeniosos mecanismos el movimiento de los planetas con enorme precisión. Pasarían siglos hasta que Newton, con la Ley de la Gravitación Universal, y Kepler, con sus leyes del movimiento planetario, fueran capaces de describir matemáticamente los movimientos anteriores.

La descripción más precisa que tenemos en la actualidad de este tipo de movimiento se basa en buena medida en los pioneros trabajos del matemático francés H. Poincaré quien, a finales del siglo XIX, se dio cuenta estudiando el sistema solar de que el movimiento de los cuerpos celestes venía determinado por estructuras geométricas. Así, cuando el movimiento es regular, esto se debe a que las trayectorias se mueven en los llamados “toros invariantes”. En sistemas con dos dimensiones, estos toros parecen rosquillas. Se dice que son “invariantes” porque si un objeto está en su superficie siempre se mueve sobre ella, sin poder escapar nunca (Figura 1). Lo realmente interesante es que esta interpretación geométrica del movimiento no tiene aplicación sólo en mecánica celeste, sino que también se utiliza hoy en día para estudiar el movimiento de fluidos, átomos, moléculas…  Grosso modo se podría decir que, si se pueden describir los toros, se puede caracterizar completamente el movimiento regular.

Figura 1: Las trayectorias regulares se mueven siempre sobre los toros invariantes, unas superficies que en sistemas con dos dimensiones tienen forma de rosquilla, pudiendo cubrirlos densamente (si la trayectoria es cuasiperiódica) o no (si la trayectoria es periódica, en cuyo caso se ve como una línea que se cierra sobre sí misma). Fuente: Fabio Revuelta (UPM)

Así, investigadores del Instituto de Ciencias Matemáticas, de la UAM, y del Grupo de Sistemas Complejos de la UPM han desarrollado un nuevo método para calcular de forma directa y sencilla las frecuencias que caracterizan los toros invariantes. En concreto, estudiando el potencial de Hénon-Heiles, que describe la dinámica de una estrella dentro de una galaxia, han observado que el indicador de caos denominado “descriptor lagrangiano” tiene distinto comportamiento dependiendo de si el movimiento es caótico o regular. En este último caso, el indicador aumenta linealmente con el tiempo y presenta una pequeña oscilación, caracterizada por una serie de frecuencias. Estas frecuencias están relacionadas, a su vez, de una forma muy simple con las de los toros invariantes, lo que permite caracterizar estos últimos de una nueva forma rápida y enormemente efectiva.

Según Fabio Revuelta, investigador de la UPM: “Estudiar el movimiento regular que se lleva a cabo en los toros invariantes es algo relativamente sencillo, pero caracterizar el caótico es algo muchísimo más complicado. De hecho, la palabra caos viene del griego y hace referencia al estado desordenado y errático antes de la creación del universo. Parece entonces que sin toros no hay paraíso.”

Acción financiada por la Comunidad de Madrid en el marco del Convenio Plurianual con la Universidad Politécnica de Madrid en la línea de actuación de estímulo a la investigación de jóvenes doctores a través del proyecto APOYO-JOVENES-4L2UB6-53-29443N (GeoCoSiM), por el Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades, a través de los proyectos PGC2018-093854-BI00 e ICMAT Severo Ochoa CEX2019-000904-S y de la Unión Europea por medio de la Acción Marie Curie Nº. 734557 del Programa People del Programa Horizonte 2020.

J. Montes, F. Revuelta, y F. Borondo, “Lagrangian descriptors and regular motion”, Comm. Nonlin. Sci. Numer. Simul. 102, 105860 (2021), https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2021.105860